cho hình vuông ABCD cạnh a.và điểm N trên AB. Biết tia CN cắt DA tại E. Tia CX cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của EF.
CMR:
a)CE=CF
b)góc AEC=góc BMC và tam giác AEC đồng dạng với tan giác MBC
c)khi điểm N chuyển động trên AB nhưng không trùng với A và B thì trung điểm M của EF luôn chạy trên 1 đường thẳng cố định
d)Đặt BN bằng x tính diện tích tứ giác ACFE theo a và x
e) Xác định vị trí của N trên AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác ABCD.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Vũ Huy Hiệu - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảobài tương tự tại đây nhé.
a. Ta thấy \(\widehat{EAF}=\widehat{ECF}=90^o\Rightarrow\) C, A thuộc đường tròn đường kính EF hay E, A, C, F cùng thuộc đường tròn đường kính EF.
b. Do E, A, C, F cùng thuộc một đường tròn nên \(\widehat{CEF}=\widehat{CAF}=45^o\) (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Lại có \(\widehat{ECF}=90^o\Rightarrow\) \(\Delta ECF\) vuông cân tại C hay CE = CF.
Do BC // DE nên \(\widehat{NCB}=\widehat{CED}\Rightarrow\Delta NBC\sim\Delta CDE\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{NB}{CD}=\frac{BC}{DE}\Rightarrow BN.DE=CD.BC=a^2\) không đổi.
c. Ta thấy BCFM là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{BCM}+\widehat{CMB}=\widehat{BFM}+\widehat{CFB}=\widehat{MFC}=45^o\)
Gọi tia đối của tia BM là Bx, ta có \(\widehat{CBx}=45^o;\widehat{CBD}=45^o\Rightarrow\)D thuộc tia đối tia BM. Vậy D, B, M thẳng hàng.
a) Xét tg EAB và tg BCF có
A1=C1 ( cùng bù góc BAC = góc BCA)
góc F = góc EBA ( đồng vị của AB//CF)
Do đó tg EAB ~ tg BCF (gg)
=> AE/BC = AB/CF hay AE.CF=AB.BC => AE.CF = AB2 (AB=BC)
Màu AB2 ko đổi => AE.CF ko đổi
Vậy AE.CF ko đổi
b) Xét tam giác AEC và tg CAF có
AC/CF = AE/AC (vì AE.CF =AB2 hay AE.CF=AC2)
góc EAC = góc FCA =120 độ ( vì tg ABC đều =>A1+BAC=120 độ; C1+BCA =120 độ)
Do đó tg AEC ~ tg CAF (cgc)
c) tg AEC ~ tg CAF => góc E1= góc F1
Mà A1+BAC=120 độ
=> A1+E1=120 độ ( góc BAC= góc E1=60 độ)
Do đó EOF =120 độ ( do là tổng 2 góc trong ko kề vs nó của tg EAO)
Vậy góc EOF ko đổi
sai r bạn ơi, góc A1+E1 ko bang 120 bạn nhé, Góc BAC+A1=120 chưa thể suy ra nhanh như thế
a) Ta có: CD = BC; ^CDE = ^CBF ( = 90o), ^DCE = ^BCF (cùng phụ với ^NCB)
=> \(\Delta\)EDC = \(\Delta\)FBC (g.c.g) => CE = CF.
Chỗ chứng minh 3 điểm thẳng hàng và mấy câu còn lại chưa nghĩ ra:(((
a) Dễ chứng minh \(\Delta\)CDE = \(\Delta\)CBF (g.c.g), suy ra CE = CF.
Ta thấy các tam giác EAF vuông tại A, ECF vuông tại C có M là trung điểm cạnh huyền EF
Suy ra MA = MC (= EF/2). Vậy M,B,D cùng nằm trên trung trực đoạn AC hay M,B,D thẳng hàng.
b) Từ câu a dễ có \(\Delta\)ECF vuông cân tại C. Vì M là trung điểm EF nên \(\Delta\)MEC vuông cân tại M
Do đó ^ACE = ^BCM (= 450 - ^BCE). Đồng thời \(\Delta\)CBA ~ \(\Delta\)CME (g.g) kéo theo \(\Delta\)EAC ~ \(\Delta\)MBC (c.g.c).
c) \(BN=x\Rightarrow AN=a-x\). Áp dụng hệ quả ĐL Thales ta có:
\(\frac{BC}{AE}=\frac{BN}{AN}\) hay \(\frac{a}{AE}=\frac{x}{a-x}\Rightarrow AE=\frac{a^2-ax}{x}\)
Áp dụng ĐL Pytagoras cho \(\Delta\)CDE có:
\(CE^2=CD^2+DE^2=a^2+\left(a+\frac{a^2-ax}{x}\right)^2=\frac{a^4+a^2x^2}{x^2}\)
Lại có \(S_{CAE}=\frac{CD.AE}{2}=\frac{a^3-a^2x}{2x};S_{CEF}=\frac{CE^2}{2}=\frac{a^4+a^2x^2}{2x^2}\)
Suy ra \(S_{ACFE}=\frac{a^3-a^2x}{2x}+\frac{a^4+a^2x^2}{2x^2}=\frac{a^4+a^3x}{2x^2}.\)
d) Ta đã tính được \(S_{ACFE}=\frac{a^4+a^3x}{2x^2};S_{ABCD}=a^2\). Để \(S_{ACFE}=3S_{ABCD}\)thì:
\(\frac{a^4+a^3x}{2x^2}=3a^2\Leftrightarrow a^2+ax-6x^2=0\Leftrightarrow\left(2x-a\right)\left(3x+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{a}{2}\\x=-\frac{a}{3}\left(l\right)\end{cases}}\). Vậy \(x=\frac{a}{2}\)hay N là trung điểm đoạn AB thì \(S_{ACFE}=3S_{ABCD}\).
a) Xét tam giác vuông ABC, theo Pitago ta có: \(NC^2=NB^2+BC^2=x^2+a^2\)
Xét tam giác vuông NCF, chiều cao CB: Áp dụng hệ thức lượng ta có : \(NF=\frac{NC^2}{NB}=\frac{x^2+a^2}{x}\)
AN = a - x ; \(\frac{EA}{BC}=\frac{AN}{NB}\Rightarrow EA=\frac{a-x}{x}.a=\frac{a^2-ax}{x}\)
\(AF=AN+NF=a-x+\frac{a^2+x^2}{x}=\frac{ax+a^2}{x}\)
Vậy nên \(S_{ACEF}=S_{EAF}+S_{CAF}=\frac{1}{2}.AF.EA+\frac{1}{2}AF.BC\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{ax+a^2}{x}.\left(\frac{a^2-ax}{x}+a\right)=\frac{1}{2}.\frac{ax+a^2}{x}.\frac{a^2}{x}=\frac{a^4+a^3x}{2x^2}\left(đvdt\right)\)
b) Ta có \(\frac{a^4+a^3x}{2x^2}=3a^2\Rightarrow a^2+ax-6x^2=0\)
\(\Rightarrow\left(a-2x\right)\left(a+3x\right)=0\)
Do a, x > 0 nên a = 2x hay N là trung điểm AB.